Elektromagnetism
Elekter - Magnetism
Elektrostaatika Elektrilaeng Staatiline elekter Coulomb'i seadus Elektrivälja tugevus Elektriline induktsioon Gaussi seadus elektrivälja jaoks Elektrivälja potentsiaal Elektrostaatiline induktsioon Elektriline dipoolmoment Dielektriline polarisatsioon Dielektrik
Magnetostaatika Ampère'i seadus Elektrivool Magnetiline induktsioon Magneetumus Magneetikud Magnetvoog Biot'-Savarti seadus Magnetiline dipoolmoment Gaussi seadus magnetvälja jaoks
Elektrodünaamika Lorentzi jõud Elektromotoorjõud Elektromagnetiline induktsioon Faraday seadus Lenzi reegel Nihkevool Maxwelli võrrandid Elektromagnetväli Elektromagnetiline kiirgus Liénardi-Wiecherti potentsiaal Maxwelli tensor Poyntingi vector Pöörisvool
Vooluahelad Elektrivool Pinge Elektromotoorjõud Ohmi seadus Kirchhoffi seadused Alalisvool Vahelduvvool Elektritakistus Elektrijuhtivus Mahtuvus Induktiivsus Memristiivsus Näivtakistus Resonaator Lainejuht
Kovariantne formuleering Elektromagnetvälja tensor Elektromagnetvälja energia-impulsi tensor Neli-vool Elektromagnetvälja neli-potentsiaal
Teadlased Ampère Coulomb Faraday Gauss Heaviside Henry Hertz Lorentz Maxwell Tesla Volta Weber Ørsted
.mw-parser-output .navbardisplay:inline;font-size:88%;font-weight:normal.mw-parser-output .navbar uldisplay:inline;white-space:nowrap.mw-parser-output .mw-body-content .navbar ulline-height:inherit.mw-parser-output .navbar liword-spacing:-0.125em.mw-parser-output .navbar.mini li abbr[title]border-bottom:none;text-decoration:none;cursor:inherit.mw-parser-output .infobox .navbarfont-size:100%.mw-parser-output .navbox .navbardisplay:block;font-size:100%.mw-parser-output .navbox-title .navbarfloat:left;text-align:left;margin:0 0.5em v a r

Biot'-Savarti seadus on elektromagnetismis esinev võrrand, mis kirjeldab konstantse elektrivoolu poolt tekitatud magnetvälja. Biot'-Savarti seadus on magnetväljaga seotud suuruse, suuna ja elektrivoolu suhtes paiknemise kaudu. Biot'-Savarti seadus on magnetostaatika fundamentaalne osa ning kehtib ainult magnetostaatika korral ja täidab sarnast rolli nagu
Coulombi seadus elektrostaatikas. Kui magnetostaatika ei kehti, siis Biot'-Savarti seadus tuleks asendada Jefimenko võrranditega.^{[Lisa 1]}
Seadus toetub Ampère'i tsirkulatsiooni seadusele ja Gaussi seadusele magnetvälja kohta.^[1] Seadus sai oma nime Jean-Baptiste Biot' ja Félix Savarti järgi, kes avastasid selle seose
1820, kui uurisid erineva kujuga vooluringide magnetvälju. Nad tegid kindlaks, et magnetiline induktsioon on kõigil juhtudel võrdeline magnetvälja poolt tekitava voolu tugevusega ja sõltub B määramispunkti kaugusest. Pierre-Simon Laplace analüüsis Biot' ja Savarti katseandmeid ning avastas, et mistahes voolu magnetvälja võib arvutada kui voolu elementaarlõikude tekitatud väljade vektorsumma.^[2]

Võrrand |

Elektrivool (piki suletud kõverat/juhet) |

Parema käe kruvireegel: vool Idisplaystyle I valge noole suunas tekitab magnetvälja B punase noole suunas

Magnetvälja suunda on võimalik määrata vooluga juhtmes, kasutades parema käe kruvi reeglit. Kui välja sirutatud parema käe pöial näitab voolu suunda, siis
kõverdatud sõrmed näitavad vooluelemendi magnetvälja suunda (nagu näha paremal asuval joonisel).^[3]

Joonisel on näidatud Idℓdisplaystyle Idboldsymbol ell , r^′displaystyle mathbf hat r' suund ja |r′|displaystyle väärtus.

Biot'-Savarti seadust kasutatakse 3D-ruumis magnetvälja resultantvektori B arvutamiseks asukohas r, mille tekitajaks on konstantne vool I (näiteks juhtme abil). Muutumatu elektrivool on pidev laengute vool, mis on kogu aeg konstantne. Biot'-Savarti seadus on joonintegraali füüsikaline näide, mida määratakse üle teekonna C, kus elektrivool liigub (näiteks juhtmes). SI-süsteemis on võrrand
^[4]:

B(r)=μ04π∫CIdℓ×r′|r′|3displaystyle mathbf B (mathbf r )=frac mu _04pi int _Cfrac Idboldsymbol ell times mathbf r' mathbf r' ,

kus dℓdisplaystyle dboldsymbol ell on vektor mööda joont Cdisplaystyle C, mis on diferentsiaalselt väike juhtme osa ning ühtib positiivse laengute liikumise suunaga.
r′=r−ℓdisplaystyle mathbf r' =mathbf r -boldsymbol ell on nihkevektor juhtmest (dℓdisplaystyle dboldsymbol ell ) kuni punktini, kus arvutatakse magnetvälja (rdisplaystyle mathbf r ) ja μ₀ on
magnetiline konstant. Alternatiivselt:

B(r)=μ04π∫CIdℓ×r^′|r′|2displaystyle mathbf B (mathbf r )=frac mu _04pi int _Cfrac Idboldsymbol ell times mathbf hat r' ^2,

kus r^′displaystyle mathbf hat r' on r′displaystyle mathbf r' ühikvektoriks. Paksus kirjas sümbolid märgivad vektoreid.

Integraali arvutatakse tavaliselt mööda suletud kõverjoont, kuna statsionaarne elektrivool on võimeline liikuma mööda suletud teed, kui see on piiritletud. Kuid seadus kehtib ka lõpmata pikkade juhtmete korral (nagu on kasutatud elektrivoolu SI-ühiku definitsioonis- Ampris).

Võrrandi kasutamiseks valitakse ruumis suvaline punkt (rdisplaystyle mathbf r ), mille magnetvälja soovitakse arvutada. Fikseerides selle punkti, kasutatakse joonintegraali üle elektrivoolu teekonna, et leida kogu magnetvälja antud punktis. Selle seaduse rakendamine toetub kaudselt magnetväljadele kehtivale superpositsiooniprintsiibile. See tähendab, et magnetväli on vektorsumma väljadest, mida tekitavad kõik lõpmatult väikesed juhtme lõigud eraldi.

Biot'-Savarti võrrandil on olemas ka 2D variant, mida kasutatakse olukorras, kus allikatel on üks suund muutumatu. Üldiselt vool ei pea liikuma tasandis, mis on risti muutumatu suunaga, selle tähis on Jdisplaystyle mathbf J (voolutihedus). Saadav valem on:

B(r)=μ02π∫C (Jdℓ)×r′|r′|=μ02π∫C (Jdℓ)×r^′displaystyle mathbf B (mathbf r )=frac mu _02pi int _C frac (mathbf J ,dell )times mathbf r 'mathbf r '=frac mu _02pi int _C (mathbf J ,dell )times mathbf hat r'

Elektri voolutihedus (kogu juhtme mahus) |

Eelnevalt kasutatud valemid sobivad, kui voolu saab vaadelda liikumisena läbi lõpmatult kitsa juhtme. Kui elektrijuht omab paksust, siis on korrektsem Biot'-Savarti seadus:

B(r)=μ04π∭V (JdV)×r′|r′|3displaystyle mathbf B (mathbf r )=frac mu _04pi iiint _V frac (mathbf J ,dV)times mathbf r '

või

B(r)=μ04π∭V (JdV)×r^′|r′|2displaystyle mathbf B (mathbf r )=frac mu _04pi iiint _V frac (mathbf J ,dV)times mathbf hat r' ^2,

kus dVdisplaystyle dV on ruumala osa ja Jdisplaystyle mathbf J on voolutiheduse vektor selles ruumis (SI-süsteemis on ühikuks A/m²).

Pidev ühtlane vool |

Olukorras, kus on ühtlane pidev vool I, saab magnetvälja Bdisplaystyle mathbf B esitleda:

B(r)=μ04πI∫Cdℓ×r′|r′|3displaystyle mathbf B (mathbf r )=frac mu _04pi Iint _Cfrac dboldsymbol ell times mathbf r' mathbf r'

ehk voolutugevuse saab integraali ette tuua.

Punktlaeng konstantsel kiirusel |

Punktlaenguga osakese q puhul, mis liigub konstantsel kiirusel v, väljenduvad Maxwelli võrrandid elektrivälja ja magnetvälja korral^[5]:

E=q4πϵ01−v2/c2(1−v2sin2⁡θ/c2)3/2r^′|r′|2displaystyle mathbf E =frac q4pi epsilon _0frac 1-v^2/c^2(1-v^2sin ^2theta /c^2)^3/2frac mathbf hat r' ^2

H=v×Ddisplaystyle mathbf H =mathbf v times mathbf D või

B=1c2v×Edisplaystyle mathbf B =frac 1c^2mathbf v times mathbf E ,

kus r^′displaystyle mathbf hat r ' on ühikvektor, mis on algsest osakese positsioonist suunatud punkti, kus välja määratakse, ning θ on nurk
vdisplaystyle mathbf v ja r′displaystyle mathbf r ' vahel.

Kui v² ≪ c², siis elektrivälja ja magnetvälja saab võtta ligikaudselt kui

E=q4πϵ0 r^′|r′|2displaystyle mathbf E =frac q4pi epsilon _0 frac mathbf hat r' ^2

B=μ0q4πv×r^′|r′|2displaystyle mathbf B =frac mu _0q4pi mathbf v times frac mathbf hat r' ^2

Neid võrrandeid nimetatakse "Biot'-Savarti seaduseks punktlaengu jaoks",^[6] mis tuleneb nende sarnasusest eelnevalt esitatud Biot'-Savarti võrranditega. Need võrrandid tuletas esimesena Oliver Heaviside 1888-ndal aastal.

Magnetilise vastuvõtlikkuse rakendused |

Biot'-Savarti seadust on võimalik kasutada magneetilisuse arvutustes nii atomaarsel kui ka molekulaarsel tasandil, näiteks selle abil on võimalik leida magnetiline vastuvõtlikkus, juhul kui voolutihedus on leitav kvantmehaanilisest arvutusest või teooriast.

Rakendused aerodünaamikas |

Biot'-Savarti seadus leiab kasutust ka aerodünaamikas, et leida kiirust, mida põhjustavad pöörisjooned.

Aerodünaamika rakendustes on pööriselisuse ja voolu rollid vahetatud võrreldes magnetilise rakenduse korral.

Maxwelli järgi^[7] on magnetvälja tugevus H otseselt võrdsutatud pööriselisusega.

Biot'-Savart' seadus, kogu voolu seadus ja Gaussi seadus magnetvälja kohta |

Magnetostaatikas magnetväli B, mis on leitud Biot'-Savarti seaduse abil, rahuldab alati Gaussi seadust magnetvälja kohta ja kogu voolu seadust.^[8]

Tõestus[8]

Alustades Biot'-Savarti seadusest: B(r)=μ04π∭Vd3lJ(l)×r−l|r−l|3displaystyle mathbf B (mathbf r )=frac mu _04pi iiint _Vd^3lmathbf J (mathbf l )times frac mathbf r -mathbf l mathbf r -mathbf l Asendades seose: r−l|r−l|3=−∇(1|r−l|)displaystyle frac mathbf r -mathbf l mathbf r -mathbf l =-nabla left(frac 1mathbf r -mathbf l right) Kasutades rootorite vektorkorrutist ja teadmist, et J ei sõltu rdisplaystyle mathbf r , saab võrrandi kirjutada, kui[8] B(r)=μ04π∇×∭Vd3lJ(l)|r−l|displaystyle mathbf B (mathbf r )=frac mu _04pi nabla times iiint _Vd^3lfrac mathbf J (mathbf l )mathbf r -mathbf l Kuna rootori divergents on alati null, siis see sätestab Gaussi seaduse magnetväljade kohta. Korrutades mõlemad pooled rootoriga ja teades, et J ei sõltu rdisplaystyle mathbf r , siis on tulemuseks[8] ∇×B=μ04π∇∭Vd3lJ(l)⋅∇(1|r−l|)−μ04π∭Vd3lJ(l)∇2(1|r−l|)displaystyle nabla times mathbf B =frac mu _04pi nabla iiint _Vd^3lmathbf J (mathbf l )cdot nabla left(frac 1mathbf r -mathbf l right)-frac mu _04pi iiint _Vd^3lmathbf J (mathbf l )nabla ^2left(frac 1mathbf r -mathbf l right) Viimaks lisades seose[8] ∇(1|r−l|)=−∇l(1|r−l|),displaystyle nabla left(frac 1mathbf r -mathbf l right)=-nabla _lleft(frac 1mathbf r -mathbf l right), ∇2(1|r−l|)=−4πδ(r−l)displaystyle nabla ^2left(frac 1mathbf r -mathbf l right)=-4pi delta (mathbf r -mathbf l ) (δ on Dirac'i delta funktsioon), kuna J divergents on null (eeldusel, et tegemist on magnetostaatikaga). Teostades ositi integreerimise, siis tulemuseks on[8] ∇×B=μ0Jdisplaystyle nabla times mathbf B =mu _0mathbf J See on Ampère'i tsirkulatsiooniseadus. (Kuna eeldati, et tegemist on magnetostaatikaga, siis ∂E/∂t=0displaystyle partial mathbf E /partial t=mathbf 0 )

Mitte-magnetostaatilises olukorras Biot'-Savarti seadus enam ei kehti, aga Gaussi seadus magnetvälja kohta ja Ampère'i tsirkulatsiooniteoreem kehtivad.

Vaata ka |

Inimesed |

• Jean-Baptiste Biot


• Félix Savart


• André-Marie Ampère


• James Clerk Maxwell


• Pierre-Simon Laplace

Elektromagnetism |

• Maxwelli võrrandid


• Magnetism


• Coulombi seadus

Viited |

Lisaks |

1. 
   ↑ de Melo e Souza, R.; Cougo-Pinto, M. V.; Farina, C. (2009). "Multipole radiation fields from the Jefimenko equation for the magnetic field and the Panofsky-Phillips equation for the electric field". American Journal of Physics 77 (1): 67–72. doi:10.1119/1.2990666.